Riemann

Een van de manieren om een integraal te evalueren is door het te schrijven als de som van kleine rechthoekjes, de Riemannsom. Stel, het gaat om de volgende integraal:

Dit gaat als volgt: verdeel het interval in intervallen van gelijke lengte en schrijf de integraal als de som van de deel-integralen op elk van deze intervallen:

Hierbij is het hoekpunt van een van de intervallen. Er zijn hoekpunten die lopen van tot en met . Zie de grafiek in het plaatje hieronder.

Nu we weten dat we op zoek zijn naar een flink aantal deel-integralen, gaan we ons verdere probleem flink versimpelen, door de deel-integralen te benaderen.

We stellen ze voor als een rechthoek. De breedte van de rechthoek is natuurlijk . Een (simpele) schatting van de hoogte van het rechthoek dat het best de integraal op dit kleine interval weergeeft is simpelweg het gemiddelde te nemen van de waarde van op de linkerkant en de rechterkant van het interval. De integraal op het deelinterval is dan te schrijven als:

De volledige integraal is dan te schrijven als:

In de evaluatie van de integraal hebben we het integratiegebied in opgedeeld in 13 gebieden van gelijke grootte. We hebben dan dus in totaal 14 x-waardes. De hoogte van elk vcan de 13 rechthoeken is het gemiddelde van de waarde aan de linkerkant en de rechterkant van het kleine integratiegebied.

De truc is de volgende: de uiteindelijke integraal kunnen we evalueren door de oppervlaktes van alle rechthoeken op te tellen. Let op dat bij de berekening van de integraal de ‘oppervlaktes’ van de rechthoeken onder de y-as als negatief geteld worden. Als we de intervallen steeds kleiner maken, wordt de benadering van de integraal steeds preciezer! Daarom komt het goed van pas dat we met een computer werken.